Hi Daniel,
Ich wills versuchen:
Die Frequenzberechnung der schwingenden Kreismembran beruht auf der sog. Besselfunktion. Tatsächlich handelt es sich um eine Menge von Funktionen Jm, deren Verlauf von der Ordnung m der Schwingung abhängt.
Die Ordnung m beschreibt die Anzahl der Diagonalen, die für die jeweilige Schwingung bewegungslos sind.
n ist die Ordnungszahl der jeweiligen Nullstelle der Besselfunktion Jm und beschreibt die Zahl der konzentrischen Linien, die bewegungslos sind.
m und n sind aus der Menge der natürlichen Zahlen, wobei m bei 0 beginnt und n bei 1. Das liegt daran, dass die Grundschwingung wegen des befestigten Randes, der im Fall des Trommelfells auf der Gratung aufliegt, eine bewegungslose konzentrische Linie hat => m=0, n=1.
Die Flächen zwischen diesen diagonalen und konzentrischen "Teilungen" sind unterschiedlich geformt, schwingen aber alle mit der selben Frequenz.
So leitet sich aus der Ordnung der Funktion und der Nullstelle das her, was in deiner Gleichung (ka)mn ist.
Hinzu kommt die Division durch 2(pi)r, was in deiner Gleichung als 2(pi)a angegeben ist, weil das Ergebnis der Besslfunktion im Bogenmaß, also als sog. Kreisfrequenz angegeben ist.
Der Term unter der Wurzel ist das Verhältnis von Spannung (S) und Massendichte (ph), die für die letzendliche Frequenz ebenso bedeutsam sind wie der Durchmesser.
Ich hab hier nochmal ein Bild eines Teils der Herleitung aus einer Vorlesung zur Physik der Musikinstrumente von Prof. Lohse der Uni in Berlin, die hoffentlich hilft. Die Buchstaben sid z.T. andere, aber die meisten gehören nicht zum Zeichensatz der Schrift von Forumsposts.
Dieses Bild wird durch draufklicken größer!!!
Jedes der kleinen Kreisbilder stellt eine einzige Schwingungsfrequenz dar. Die blauen und roten Zonen schwingen jeweils in entgegengesetzter Richtung (=> 180 Grad Phasenunterschied).
Es gibt natürlich viel mehr als sechs. Die Reihe ist theoretisch unendlich, praktisch interessieren beim Schlagzeug aber nur Frequenzen der hörbaren Bereichs. Alle zusammen ergeben die sog. Obertonreihe.
Es handelt sich hierbei um das idealtypische Verhalten. Ein reales Fell ist nochmal komplizierter, weil es niemals rundherum absolut exakt gleichmäßig gespannt ist und die Massendichte auch nicht immer exakt gleichverteilt ist.
Viele Grüße,
Nils
P.S.: so explizit ist das im Buch leider nicht erklärt, kommt dann vielleicht in der 2. Auflage mit rein 
